闲话 22.11.8

今天没有准备什么题（
所以今天又是久违的纯闲话！

但是今天下午想了这么一道题：

给定 \(n\) 个区间 \([l_i,r_i]\ (0\le i <n)\)。

设 \(n\) 阶多项式 \(F(x)\) 满足任意非常数项 \([x^k]F(x)\) 为自 \([l_k,r_k]\) 中随机选取的一个整数。

给定操作编号，你需要求对应编号的多项式的 \(x^m\) 项系数的期望：

1. \(F(x)\) 的逆 \(F^{-1}(x)\)
2. \(F(x)\) 的自然对数 \(\ln F(x)\)
3. \(F(x)\) 的指数 \(\exp F(x)\)

这里认为所求多项式各项独立，即，期望为所有可能的多项式的第 \(m\) 项加和除以所有可能的多项式的数量。

当 \(1.\ 2.\) 两情况时视多项式常数项为 \(1\)， \(3.\) 情况时视多项式常数项为 \(0\)。

答案对 \(998244353\) 取模。

最开始只是多项式逆，而且常数项也是区间给定
然后认为这是个找规律题
发现需要一个 \(\sum_{i=1}^n \frac 1{i^k}\) 然后就不可做了
脑力耗尽
加了常数项是 \(1\) 的条件后似乎可做起来了
没有逆的期望这种sb东西
但是似乎性质不是那么的好用了？

感觉最后要么是求各区间期望后半在线卷积
要么是推出性质/式子后算个伯努利数完事
但是不会推

如果哪位大佬能给一下std啥的就更好了（
反正我是不太会这类的东西

总而言之想了四个思路fake了四个思路
所以今天没有杂题

今天放的是《only my railgun》！
好耶好耶 想起了我当年(?)追超炮的时光

然后看圆神时不是有这么一道数论题吗

\(p\text{ is prime}\)，\(n\in N_+\)
证明：\(p \mid (1+n)^p - n^p -1\) 。

证明显然，考虑组合数性质。

homura：一脸茫然，不知所措
但是人家停了半年课（